Каковы шансы, что вдох, который вы только что сделали, содержит хотя бы одну молекулу воздуха, которая была в последнем вдохе Юлия Цезаря? Том вдохе, при котором Цезарь (согласно Шекспиру) сказал: «И ты, Брут?».
Предположим, что более двух тысяч лет, которые прошли с тех пор, достаточно для того, чтобы все молекулы из последнего вдоха (или выдоха) Юлия Цезаря смешались равномерно в атмосфере, при этом лишь незначительное число молекул просочилось в океан или землю. Будем считать далее, что в атмосфере содержится около 1044 молекул, а каждый вдох (ваш или Цезаря) содержит около 2×1022 молекул.
Это дает вероятность 2×1022/1044 = 2×10-22 того, что любая молекула, которую вы вдыхаете, является той, что вдохнул Цезарь в последний раз. Это означает, что вероятность того, что любая молекула не является той, что вдохнул Цезарь в последний раз, равна [1–2x10-22]. Но мы хотим найти вероятность того, что первая молекула не является той, что вдохнул Цезарь в последний раз, и вторая молекула не является таковой, и третья, и четвертая и т.д. Для определения вероятности того, что более одного события из некоторой группы причинно несвязных событий происходят одновременно, необходимо перемножить вероятности каждого события. Т.к. имеется 2×1022 молекул и каждая из них имеет одну и ту же вероятность [1–2x10-22] не быть той, что вдохнул Цезарь в последний раз, нам необходимо перемножить вероятности каждого отдельного события 2 x 1022 раз. Это дает нам:
P = [1–2x10-22][2x10^22]
в качестве вероятности того, что ни одна молекула из вдоха, который вы только что сделали (предполагая, что вы все еще не выдохнули) не является той, что вдохнул Цезарь в последний раз.
Как это вычислить? Вспомним, что если число x маленькое, то (1–x) приблизительно равно e-x, где e=2,718281828… Таким образом, мы можем переписать равенство выше так:
P = [e[-2x10^(-22)] ][2x10^(22)]
Вспомним также, что когда мы возводим степень числа еще в одну степень, мы просто перемножаем показатели степени. В данном случае один показатель степени (вероятность того, что молекула является той, что вдохнул Цезарь в последний раз) является очень маленьким, а второй (число молекул вдоха) очень большим. Перемножая эти показатели, мы получаем: [-2x10(-22)] x[2x10(22)] =-4.
Далее e-4 равняется примерно 1/(2,72×2,72×2,72×2,72) = 1/54,7 = 0,018. Таким образом, существует вероятность равная 1,8% того, что ни одна из молекул, которую вы вдохнули (и все еще держите в себе) не является той, что вдохнул Цезарь в последний раз. И соответственно существует вероятность равная 98,2% того, что по крайней мере одна из молекул в ваших легких является той самой.